Cálculo Ejemplos

$y = \frac{9}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 x^{\frac{3}{4}}}]$

Paso 2

Como $\frac{9}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ como ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}]$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4} \cdot - 1}]$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.2.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $- 1$ .

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}}]$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{4}}]$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{4}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{4}$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1})$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{4} (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}})$

Paso 8.2

Resta $4$ de $- 3$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}})$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{4} (- \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}})$

Paso 10

Combina $x^{- \frac{7}{4}}$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4})$

Paso 11

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $\frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4}$ .

$- \frac{9 (x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3)}{4 \cdot 4}$

Paso 12

Multiplica.

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Paso 12.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$- \frac{27 x^{- \frac{7}{4}}}{4 \cdot 4}$

Paso 12.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{27 x^{- \frac{7}{4}}}{16}$

Paso 12.3

Mueve $x^{- \frac{7}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{27}{16 x^{\frac{7}{4}}}$