Cálculo Ejemplos

$y = 8^{3 - x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 8^{x}$ y $g (x) = 3 - x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $8$ .

$8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x^{2}$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- (2 x))$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- 2 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- 2 x)$ .

$- 2 \cdot 8^{3 - x^{2}} x \ln (8)$

Paso 3.2

Multiplica $- 2 \cdot 8^{3 - x^{2}}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza el negativo.

$- (2 \cdot 8^{3 - x^{2}}) x \ln (8)$

Paso 3.2.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$- (2 \cdot {(2^{3})}^{3 - x^{2}}) x \ln (8)$

Paso 3.2.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{3 - x^{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \cdot 2^{3 (3 - x^{2})}) x \ln (8)$

Paso 3.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 \cdot 2^{3 \cdot 3 + 3 (- x^{2})}) x \ln (8)$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- (2 \cdot 2^{9 + 3 (- x^{2})}) x \ln (8)$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- (2 \cdot 2^{9 - 3 x^{2}}) x \ln (8)$

Paso 3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2^{1 + 9 - 3 x^{2}} x \ln (8)$

Paso 3.2.5

Suma $1$ y $9$ .

$- 2^{10 - 3 x^{2}} x \ln (8)$

Paso 3.3

Reordena los factores en $- 2^{10 - 3 x^{2}} x \ln (8)$ .

$- x \cdot 2^{10 - 3 x^{2}} \ln (8)$