Cálculo Ejemplos

$y = (16 x + 5) {(4 x - 3)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(4 x - 3)}^{2}$ como $(4 x - 3) (4 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) ((4 x - 3) (4 x - 3))]$

Paso 2

Expande $(4 x - 3) (4 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x - 3))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3.1.5

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3)]$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 12 x + 9)]$

Paso 3.2

Resta $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 24 x + 9)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 16 x + 5$ y $g (x) = 16 x^{2} - 24 x + 9$ .

$(16 x + 5) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 24 x + 9] + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x^{2} - 24 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(16 x + 5) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(16 x + 5) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(16 x + 5) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $16$ .

$(16 x + 5) (32 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5.5

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5.7

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5.8

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 + 0) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5.9

Suma $32 x - 24$ y $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Paso 5.10

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.11

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.13

Multiplica $16$ por $1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.14

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 + 0)$

Paso 5.15

Simplifica la expresión.

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Paso 5.15.1

Suma $16$ y $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \cdot 16$

Paso 5.15.2

Mueve $16$ a la izquierda de $16 x^{2} - 24 x + 9$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + 16 \cdot (16 x^{2} - 24 x + 9)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(16 x + 5) (32 x - 24) + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(16 x + 5) (32 x) + (16 x + 5) \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x (32 x) + 5 (32 x) + (16 x + 5) \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x (32 x) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5

Combina los términos.

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Paso 6.5.1

Multiplica $32$ por $16$ .

$512 x \cdot x + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$512 (x^{1} x) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$512 (x^{1} x^{1}) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$512 x^{1 + 1} + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$512 x^{2} + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.6

Multiplica $32$ por $5$ .

$512 x^{2} + 160 x + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.7

Multiplica $- 24$ por $16$ .

$512 x^{2} + 160 x - 384 x + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.8

Multiplica $5$ por $- 24$ .

$512 x^{2} + 160 x - 384 x - 120 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.9

Resta $384 x$ de $160 x$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.10

Multiplica $16$ por $16$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.11

Multiplica $- 24$ por $16$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} - 384 x + 16 \cdot 9$

Paso 6.5.12

Multiplica $16$ por $9$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} - 384 x + 144$

Paso 6.5.13

Suma $512 x^{2}$ y $256 x^{2}$ .

$768 x^{2} - 224 x - 120 - 384 x + 144$

Paso 6.5.14

Resta $384 x$ de $- 224 x$ .

$768 x^{2} - 608 x - 120 + 144$

Paso 6.5.15

Suma $- 120$ y $144$ .

$768 x^{2} - 608 x + 24$