Cálculo Ejemplos

$y = 2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)]$ .

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \tan (\frac{x}{2})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.4

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.7

Combina $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.8

Combina $2$ y $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.9.2

Divide $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$- 1 + \sec^{2} (\frac{x}{2})$

Paso 4.2

Reordena $- 1$ y $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Paso 4.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\tan^{2} (\frac{x}{2})$