Cálculo Ejemplos

$y = 4 x (5 x^{2} - 3 x)$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x (5 x^{2} - 3 x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x (5 x^{2} - 3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x (5 x^{2} - 3 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 5 x^{2} - 3 x$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3 x] + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$4 (x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$4 (x (10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (10 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (10 x - 3 \cdot 1) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$4 (x (10 x - 3) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (10 x - 3) + (5 x^{2} - 3 x) \cdot 1)$

Paso 3.9

Multiplica $5 x^{2} - 3 x$ por $1$ .

$4 (x (10 x - 3) + 5 x^{2} - 3 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x (10 x) + x \cdot - 3 + 5 x^{2} - 3 x)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x (10 x)) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (10 (x^{1} x)) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (10 (x^{1} x^{1})) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (10 x^{1 + 1}) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 (10 x^{2}) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3.5

Multiplica $10$ por $4$ .

$40 x^{2} + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3.6

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$40 x^{2} + 4 (- 3 \cdot x) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3.7

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$40 x^{2} - 12 x + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3.8

Multiplica $5$ por $4$ .

$40 x^{2} - 12 x + 20 x^{2} + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3.9

Suma $40 x^{2}$ y $20 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 12 x + 4 (- 3 x)$

Paso 4.3.10

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$60 x^{2} - 12 x - 12 x$

Paso 4.3.11

Resta $12 x$ de $- 12 x$ .

$60 x^{2} - 24 x$