Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} \arcsin (e^{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \arcsin (e^{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arcsin (e^{x})] + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = e^{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

La derivada de $\arcsin (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - e^{x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} e^{x} + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Combina $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + \arcsin (e^{x}) (2 x)$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + 2 x \arcsin (e^{x})$