Cálculo Ejemplos

$y = \ln ({(5 - x)}^{6})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(5 - x)}^{6}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = 5 - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 - x$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 - x$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $6$ y $\frac{1}{{(5 - x)}^{6}}$ .

$\frac{6}{{(5 - x)}^{6}} ({(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina ${(5 - x)}^{5}$ y $\frac{6}{{(5 - x)}^{6}}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Paso 3.2.2

Mueve $6$ a la izquierda de ${(5 - x)}^{5}$ .

$\frac{6 \cdot {(5 - x)}^{5}}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de ${(5 - x)}^{5}$ y ${(5 - x)}^{6}$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza ${(5 - x)}^{5}$ de $6 {(5 - x)}^{5}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Paso 3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.2.1

Factoriza ${(5 - x)}^{5}$ de ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Paso 3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6}{5 - x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6}{5 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{5 - x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6}{5 - x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.8

Combina fracciones.

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Paso 3.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6}{5 - x} \cdot - 1$

Paso 3.8.2

Combina $\frac{6}{5 - x}$ y $- 1$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{5 - x}$

Paso 3.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.3.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 6}{5 - x}$

Paso 3.8.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{5 - x}$