Cálculo Ejemplos

$y = \ln (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (9 x^{2} + 5 y^{2}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Paso 3.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Paso 3.2.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Reordena los factores de $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$ .

$(18 x + 10 y y') \frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $18 x + 10 y y'$ por $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$ .

$\frac{18 x + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Paso 3.6.3

Factoriza $2$ de $18 x + 10 y y'$ .

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Paso 3.6.3.1

Factoriza $2$ de $18 x$ .

$\frac{2 (9 x) + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Paso 3.6.3.2

Factoriza $2$ de $10 y y'$ .

$\frac{2 (9 x) + 2 (5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Paso 3.6.3.3

Factoriza $2$ de $2 (9 x) + 2 (5 y y')$ .

$\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $y' (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2

Reordena.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 y' x^{2} + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común de $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Paso 5.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x + 5 y y')$

Paso 5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x) + 2 (5 y y')$

Paso 5.2.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.1.3.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 2 (5 y y')$

Paso 5.2.2.1.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 (y y')$

Paso 5.2.2.1.3.3

Mueve $y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 y' y$

Paso 5.2.2.1.3.4

Reordena $18 x$ y $10 y' y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 10 y' y + 18 x$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $10 y' y$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $9 y' x^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $5 y' y^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) - 10 y' y = 18 x$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $- 10 y' y$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Paso 5.3.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2})$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Paso 5.3.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y)$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ por $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ por $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$