Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $\sin (x) + \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.2

Multiplica $- x (- \sin (x))$ .

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + 1 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$\frac{- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.4

Factoriza $- 1$ de $- x \cos (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.5

Factoriza $- 1$ de $x \sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.6

Factoriza $- 1$ de $- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.7

Factoriza $- 1$ de $\sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.8

Factoriza $- 1$ de $- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.9

Factoriza $- 1$ de $\cos (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.10

Factoriza $- 1$ de $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.11

Reescribe $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ como $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$