Cálculo Ejemplos

$y = 3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Paso 3.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 3.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 3.3.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 3.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 3.3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 5})$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$\frac{3}{x} + 20 x^{- 5}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{x} + 20 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 3.4.2

Combina $20$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$