Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x + y}{x - y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + y$ y $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.7

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.2.1.1

Expande $(x - y) (1 + y')$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.8.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.3

Expande $(- x - y) (1 - y')$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.8.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.4.2

Multiplica $- x (- y')$ .

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Paso 3.8.2.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.4.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.4.4

Multiplica $- y (- y')$ .

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Paso 3.8.2.1.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.1.4.4.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.2

Combina los términos opuestos en $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

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Paso 3.8.2.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.2.2

Suma $x y' - y - y y'$ y $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.2.3

Suma $- y y'$ y $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.2.4

Suma $x y' - y + x y' - y$ y $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.3

Suma $x y'$ y $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.2.4

Resta $y$ de $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.3

Factoriza $2$ de $2 x y' - 2 y$ .

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Paso 3.8.3.1

Factoriza $2$ de $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 3.8.3.3

Factoriza $2$ de $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por ${(x - y)}^{2}$ .

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(x - y)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

Paso 5.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

Paso 5.2.1.3.2

Mueve $x$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.1.1

Resta $2 y' x$ de ambos lados de la ecuación.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.2.1

Reescribe ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.2

Expande $(x - y) (x - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.3.1.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.3.1.4.1

Mueve $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.3.1.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.3.1.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.3.2

Resta $y x$ de $- x y$ .

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Paso 5.3.1.2.3.2.1

Mueve $y$ .

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.3.2.2

Resta $x y$ de $- x y$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Paso 5.3.2.4

Factoriza $y'$ de $- 2 y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Paso 5.3.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Paso 5.3.2.6

Factoriza $y'$ de $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Paso 5.3.2.7

Factoriza $y'$ de $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ por $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ por $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$