Cálculo Ejemplos

$y = {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = 6 x^{3} + 7$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Paso 3.6

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{3} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 3.8

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 3.10

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 3.11

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + 0)$

Paso 3.12

Simplifica los términos.

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Paso 3.12.1

Suma $18 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2})$

Paso 3.12.2

Combina $18$ y $\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{18 (3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

Paso 3.12.3

Multiplica $3$ por $18$ .

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

Paso 3.12.4

Combina $\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

Paso 3.12.5

Factoriza $2$ de $54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Paso 3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

Paso 3.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

Paso 3.13.4

Divide $27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Paso 3.14

Reordena los factores de $27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$