Cálculo Ejemplos

$y = {(4 x + 3)}^{5}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x + 3)}^{5})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 4 x + 3$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 3$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 + 0)$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} \cdot 4$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 {(4 x + 3)}^{4}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 20 {(4 x + 3)}^{4}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 {(4 x + 3)}^{4}$