Cálculo Ejemplos

$y = 7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (7^{\sec (x)} + \ln (x^{3}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 7^{x}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $7$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (x)$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.1.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

Paso 3.3.3

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x^{3}} x^{2}$

Paso 3.3.4

Combina $\frac{3}{x^{3}}$ y $x^{2}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 3.3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 3.3.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Paso 3.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.5.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Paso 3.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Paso 3.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$