Cálculo Ejemplos

$y = \tan (\sqrt{7 t})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 t}$ como ${(7 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1.1

Factoriza $7$ de $7 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(7 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 4.1.2

Aplica la regla del producto a $7 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \tan (t)$ y $g (t) = 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Como $7^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 4.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 4.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 4.10

Combina $7^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.11

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.12

Combina $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ y $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13

Reordena los factores en $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$