Cálculo Ejemplos

$y = \cos (\sqrt{6 t + 12})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 t + 12}$ como ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 6 t + 12$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $6 t + 12$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 t + 12$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.7.3

Mueve ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Paso 4.7.4

Combina $\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12]$

Paso 4.8

Según la regla de la suma, la derivada de $6 t + 12$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12]$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12])$

Paso 4.9

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6 t$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [12])$

Paso 4.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [12])$

Paso 4.11

Multiplica $6$ por $1$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d t} [12])$

Paso 4.12

Como $12$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $12$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Paso 4.13

Simplifica los términos.

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Paso 4.13.1

Suma $6$ y $0$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Paso 4.13.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.3

Combina $- 6$ y $\frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.4

Factoriza $2$ de $- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$