Cálculo Ejemplos

$y = (4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ((4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = 4 t - 1$ y $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = 2 t - 2$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(4 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t - 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Paso 3.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Paso 3.3.8

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Paso 3.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Paso 3.3.10

Multiplica $4$ por $1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Paso 3.3.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + 0)$

Paso 3.3.12

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.12.1

Suma $4$ y $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 4$

Paso 3.3.12.2

Mueve $4$ a la izquierda de ${(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 4 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los términos.

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 t - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 t - 2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 t$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) + 2 (- 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (t) + 2 (- 1)$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t - 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (t - 1)$ .

$- 2 \frac{1}{2^{2} {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.3.2

Factoriza $2$ de $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.3.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.3.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.5.2

Factoriza $2$ de $2 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.5.3

Factoriza $2$ de $4 t$ .

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (2 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.6

Combina $2$ y $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.8

Combina $\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}}$ y $t$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.9

Multiplica $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1$ .

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Paso 3.4.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + 1 \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.9.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Paso 3.4.2.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 t - 2}$

Paso 3.4.2.12

Factoriza $2$ de $2 t - 2$ .

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Paso 3.4.2.12.1

Factoriza $2$ de $2 t$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) - 2}$

Paso 3.4.2.12.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) + 2 (- 1)}$

Paso 3.4.2.12.3

Factoriza $2$ de $2 (t) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t - 1)}$

Paso 3.4.2.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.13.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 (2) \frac{1}{2 (t - 1)}$

Paso 3.4.2.13.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2 (t - 1)}$

Paso 3.4.2.13.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \frac{1}{t - 1}$

Paso 3.4.2.14

Combina $2$ y $\frac{1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1}$

Paso 3.4.3

Para escribir $\frac{2}{t - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1} \cdot \frac{t - 1}{t - 1} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(t - 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $\frac{2}{t - 1}$ por $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{(t - 1) (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.2

Eleva $t - 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.3

Eleva $t - 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} {(t - 1)}^{1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1 + 1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 t + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.6.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 t + 2 (t - 1)$ .

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Paso 3.4.6.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t) + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.6.1.1.2

Factoriza $2$ de $2 (- t) + 2 (t - 1)$ .

$\frac{2 (- t + t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.6.1.2

Suma $- t$ y $t$ .

$\frac{2 (0 - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.6.1.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.7

Para escribir $- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 {(t - 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.8.1

Multiplica $\frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{{(t - 1)}^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.8.2

Reordena los factores de ${(t - 1)}^{2} \cdot 2$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.10.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.10.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$\frac{- 3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$