Cálculo Ejemplos

${(6 x - y)}^{2} - 5 y = 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(6 x - y)}^{2} - 5 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe ${(6 x - y)}^{2}$ como $(6 x - y) (6 x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x - y) (6 x - y) - 5 y]$

Paso 2.2

Expande $(6 x - y) (6 x - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x - y) - y (6 x - y) - 5 y]$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x (- y) - y (6 x - y) - 5 y]$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Paso 2.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 \cdot - 1 x y - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Paso 2.3.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 1 \cdot 6 y x - y (- y) - 5 y]$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - y (- y) - 5 y]$

Paso 2.3.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 5 y]$

Paso 2.3.1.9

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.9.1

Mueve $y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 5 y]$

Paso 2.3.1.9.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 5 y]$

Paso 2.3.1.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x + 1 y^{2} - 5 y]$

Paso 2.3.1.11

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x + y^{2} - 5 y]$

Paso 2.3.2

Resta $6 y x$ de $- 6 x y$ .

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Paso 2.3.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 x y + y^{2} - 5 y]$

Paso 2.3.2.2

Resta $6 x y$ de $- 6 x y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 12 x y + y^{2} - 5 y]$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $36 x^{2} - 12 x y + y^{2} - 5 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $36$ .

$72 x + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x y]$ .

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Paso 2.6.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x y$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$72 x - 12 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$72 x - 12 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.6.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$72 x - 12 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$72 x - 12 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.6.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.7.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.7.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.7.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.7.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.7.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 2.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Paso 2.8.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.8.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' - 5 y'$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$72 x - 12 (x y') - 12 y + 2 y y' - 5 y'$

Paso 2.9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$72 x - 12 x y' - 12 y + 2 y y' - 5 y'$

Paso 2.9.3

Reordena los términos.

$- 12 x y' + 2 y y' + 72 x - 12 y - 5 y'$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 12 x y' + 2 y y' + 72 x - 12 y - 5 y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $72 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 x y' + 2 y y' - 12 y - 5 y' = - 72 x$

Paso 5.1.2

Suma $12 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 12 x y' + 2 y y' - 5 y' = - 72 x + 12 y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- 12 x y' + 2 y y' - 5 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- 12 x y'$ .

$y' (- 12 x) + 2 y y' - 5 y' = - 72 x + 12 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (- 12 x) + y' (2 y) - 5 y' = - 72 x + 12 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $- 5 y'$ .

$y' (- 12 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = - 72 x + 12 y$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (- 12 x) + y' (2 y)$ .

$y' (- 12 x + 2 y) + y' \cdot - 5 = - 72 x + 12 y$

Paso 5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 12 x + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$ por $- 12 x + 2 y - 5$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$ por $- 12 x + 2 y - 5$ .

$\frac{y' (- 12 x + 2 y - 5)}{- 12 x + 2 y - 5} = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 12 x + 2 y - 5$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 12 x + 2 y - 5)}{- 12 x + 2 y - 5} = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 72 x + 12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $12$ de $- 72 x + 12 y$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $12$ de $- 72 x$ .

$y' = \frac{12 (- 6 x) + 12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $12$ de $12 y$ .

$y' = \frac{12 (- 6 x) + 12 (y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $12$ de $12 (- 6 x) + 12 (y)$ .

$y' = \frac{12 (- 6 x + y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 6 x$ .

$y' = \frac{12 (- (6 x) + y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{12 (- (6 x) - 1 (- y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (6 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{12 (- (6 x - y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $- (6 x - y)$ como $- 1 (6 x - y)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 12 x$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x) + 2 y - 5}$

Paso 5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $2 y$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x) - (- 2 y) - 5}$

Paso 5.3.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (12 x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y) - 5}$

Paso 5.3.3.10

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y) - 1 (5)}$

Paso 5.3.3.11

Factoriza $- 1$ de $- (12 x - 2 y) - 1 (5)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y + 5)}$

Paso 5.3.3.12

Reescribe $- (12 x - 2 y + 5)$ como $- 1 (12 x - 2 y + 5)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 1 (12 x - 2 y + 5)}$

Paso 5.3.3.13

Cancela el factor común.

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 1 (12 x - 2 y + 5)}$

Paso 5.3.3.14

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{12 (6 x - y)}{12 x - 2 y + 5}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 (6 x - y)}{12 x - 2 y + 5}$