Cálculo Ejemplos

$y = (x + 1) (x^{2} - 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + 1) (x^{2} - 1))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)$

Paso 3.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1$

Paso 3.2.8.2

Multiplica $x^{2} - 1$ por $1$ .

$2 (x + 1) x + x^{2} - 1$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Paso 3.3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Paso 3.3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Paso 3.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Paso 3.3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Paso 3.3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1$

Paso 3.3.3.6

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 1$