Cálculo Ejemplos

$x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.5.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.5.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y' + y^{2}) + 2 x + 2 y y'$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} y' + 2 y x - (2 x y y') - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 2 x y y' - y^{2} + 2 x + 2 y y'$

Paso 2.6.3

Reordena los términos.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' + 2 x y - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' + 2 x = y^{2} - 2 x y$

Paso 5.1.3

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x^{2} y' - 2 x y y' + 2 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 2 x y y' + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 2 x y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + 2 y y' = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Paso 5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (2 y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ por $x^{2} - 2 x y + 2 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x^{2} - 2 x y + 2 y) = y^{2} - 2 x y - 2 x$ por $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 2 x y + 2 y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{x^{2} - 2 x y + 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} + \frac{- 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Paso 5.3.3.2

Combina en una fracción.

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Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y}{x^{2} - 2 x y + 2 y} - \frac{2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Paso 5.3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2 x y - 2 x}{x^{2} - 2 x y + 2 y}$