Cálculo Ejemplos

$y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4} = 27$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}) = \frac{d}{d x} (27)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{5}$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.3.5

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$3 y^{2} y' + 5 \cdot x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{5}$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - (4 x^{3})$

Paso 2.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - 4 x^{3}$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Paso 3

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $4 x^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 4 x^{3}$

Paso 5.1.2

Resta $2 y^{5} x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Paso 5.2

Factoriza $y^{2} y'$ de $3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y^{2} y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y^{2} y' \cdot 3 + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y^{2} y'$ de $5 y^{4} x^{2} y'$ .

$y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y^{2} y'$ de $y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2})$ .

$y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Paso 5.3

Divide cada término en $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ por $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ por $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ .

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $3 + 5 y^{2} x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{5}$ y $y^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $- 2 y^{5} x$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}$ .

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Paso 5.3.3.5.1.1

Factoriza $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3.5.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 y^{3} x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3.5.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $y^{3}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.5.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - (y^{2} y^{3}))}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{2 + 3})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 5.3.3.5.2.3

Suma $2$ y $3$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$