Cálculo Ejemplos

$y^{2} = \frac{x}{x + 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + 1})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Divide cada término en $2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Paso 5.3.2

Combinar.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}$

Paso 5.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{1}{2 \cdot {(x + 1)}^{2} y}$

Paso 5.3.3.3

Reordena los factores en $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$