Cálculo Ejemplos

$3 y^{2} = \frac{5 x - 4}{5 x + 4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 4}{5 x + 4})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 5 x - 4$ y $g (x) = 5 x + 4$ .

$\frac{(5 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x - 4] - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(5 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 + 0) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{(5 x + 4) \cdot 5 - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.6.2

Mueve $5$ a la izquierda de $5 x + 4$ .

$\frac{5 \cdot (5 x + 4) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + 0)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.12.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) \cdot 5}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.12.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.1

Combina los términos opuestos en $5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Resta $5 (5 x)$ de $5 (5 x)$ .

$\frac{5 \cdot 4 + 0 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2

Suma $5 \cdot 4$ y $0$ .

$\frac{5 \cdot 4 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.2.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$\frac{20 + 20}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3.3

Suma $20$ y $20$ .

$\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 5

Divide cada término en $6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ por $6 y$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ por $6 y$ .

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Paso 5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{6 y}$

Paso 5.3.2

Combinar.

$y' = \frac{40 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $40$ y $6$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $40 \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de ${(5 x + 4)}^{2} (6 y)$ .

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{20 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (3 y)}$

Paso 5.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.4.1

Multiplica $20$ por $1$ .

$y' = \frac{20}{{(5 x + 4)}^{2} \cdot 3 y}$

Paso 5.3.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(5 x + 4)}^{2}$ .

$y' = \frac{20}{3 \cdot {(5 x + 4)}^{2} y}$

Paso 5.3.4.3

Reordena los factores en $\frac{20}{3 {(5 x + 4)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$