Cálculo Ejemplos

$5 x^{2} y - π \cos (y) = 6 π$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} y - π \cos (y)) = \frac{d}{d x} (6 π)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} y - π \cos (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π \cos (y)$ con respecto a $x$ es $- π \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (y) y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + 1 π (\sin (y) y')$

Paso 2.3.5

Multiplica $π$ por $1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + π \sin (y) y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) + π \sin (y) y'$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$5 x^{2} y' + 10 y x + π \sin (y) y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y'$

Paso 3

Como $6 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y'$ .

$5 x^{2} y' + 10 x y + π y' \sin (y) = 0$

Paso 5.2

Resta $10 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} y' + π y' \sin (y) = - 10 x y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $5 x^{2} y' + π y' \sin (y)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $5 x^{2} y'$ .

$y' (5 x^{2}) + π y' \sin (y) = - 10 x y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $π y' \sin (y)$ .

$y' (5 x^{2}) + y' (π \sin (y)) = - 10 x y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (5 x^{2}) + y' (π \sin (y))$ .

$y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$ por $5 x^{2} + π \sin (y)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$ por $5 x^{2} + π \sin (y)$ .

$\frac{y' (5 x^{2} + π \sin (y))}{5 x^{2} + π \sin (y)} = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $5 x^{2} + π \sin (y)$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (5 x^{2} + π \sin (y))}{5 x^{2} + π \sin (y)} = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$