Cálculo Ejemplos

$e^{4 x} = \sin (x + 9 y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{4 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 9 y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1)$

Paso 2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4$

Paso 2.2.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x + 9 y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 9 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 9 y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 9 y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 9 y$ .

$\cos (x + 9 y) \frac{d}{d x} [x + 9 y]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 9 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$\cos (x + 9 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x + 9 y) (1 + \frac{d}{d x} [9 y])$

Paso 3.2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 y$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + 9 y) (1 + 9 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x + 9 y) (1 + 9 y')$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 e^{4 x} = \cos (x + 9 y) (1 + 9 y')$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\cos (x + 9 y) (1 + 9 y') = 4 e^{4 x}$ .

$\cos (x + 9 y) (1 + 9 y') = 4 e^{4 x}$

Paso 5.2

Divide cada término en $\cos (x + 9 y) (1 + 9 y') = 4 e^{4 x}$ por $\cos (x + 9 y)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $\cos (x + 9 y) (1 + 9 y') = 4 e^{4 x}$ por $\cos (x + 9 y)$ .

$\frac{\cos (x + 9 y) (1 + 9 y')}{\cos (x + 9 y)} = \frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $\cos (x + 9 y)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x + 9 y) (1 + 9 y')}{\cos (x + 9 y)} = \frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $1 + 9 y'$ por $1$ .

$1 + 9 y' = \frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)}$

Paso 5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y' = \frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)} - 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $9 y' = \frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)} - 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $9 y' = \frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)} - 1$ por $9$ .

$\frac{9 y'}{9} = \frac{\frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)}}{9} + \frac{- 1}{9}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y'}{9} = \frac{\frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)}}{9} + \frac{- 1}{9}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)}}{9} + \frac{- 1}{9}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y)} \cdot \frac{1}{9} + \frac{- 1}{9}$

Paso 5.4.3.1.2

Combinar.

$y' = \frac{4 e^{4 x} \cdot 1}{\cos (x + 9 y) \cdot 9} + \frac{- 1}{9}$

Paso 5.4.3.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$y' = \frac{4 e^{4 x}}{\cos (x + 9 y) \cdot 9} + \frac{- 1}{9}$

Paso 5.4.3.1.4

Mueve $9$ a la izquierda de $\cos (x + 9 y)$ .

$y' = \frac{4 e^{4 x}}{9 \cdot \cos (x + 9 y)} + \frac{- 1}{9}$

Paso 5.4.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{4 e^{4 x}}{9 \cos (x + 9 y)} - \frac{1}{9}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x}}{9 \cos (x + 9 y)} - \frac{1}{9}$