Cálculo Ejemplos

$\int x^{11} e^{x^{12}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ como ${u_{1}}^{5}$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $10$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{10}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int {u_{1}}^{\frac{5}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{12}$ como ${u_{1}}^{6}$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $12$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{12}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{1}}^{5}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{5}}{2} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

Paso 2.4

Combina $\frac{{u_{1}}^{5}}{2}$ y $e^{{u_{1}}^{6}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}}}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {\sqrt{u_{2}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ como ${u_{2}}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2

Reescribe ${\sqrt{u_{2}}}^{6}$ como ${u_{2}}^{3}$ .

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Paso 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Paso 5.4

Combina $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ y $e^{{u_{2}}^{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}}}{2} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Paso 8

Sea $u_{3} = {u_{2}}^{3}$ . Entonces $d u_{3} = 3 {u_{2}}^{2} d u_{2}$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{3} = {u_{2}}^{2} d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{3} = {u_{2}}^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}]$

Paso 8.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{2}}^{2}$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{3} d u_{3}$

Paso 9

Combina $e^{u_{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{3} d u_{3}$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{12} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 12

La integral de $e^{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $e^{u_{3}}$ .

$\frac{1}{12} (e^{u_{3}} + C)$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{12} e^{u_{3}} + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{12} e^{{u_{2}}^{3}} + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{12} e^{{({u_{1}}^{2})}^{3}} + C$

Paso 14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{12} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{3}} + C$