Cálculo Ejemplos

$x^{3} - 3 a x y + y^{3} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d a} (x^{3} - 3 a x y + y^{3}) = \frac{d}{d a} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 a x y + y^{3}$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- 3 a x y] + \frac{d}{d a} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- 3 a x y] + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Paso 2.1.2

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $x^{3}$ con respecto a $a$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 a x y] + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d a} [- 3 a x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3 x$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- 3 a x y$ con respecto a $a$ es $- 3 x \frac{d}{d a} [a y]$ .

$0 - 3 x \frac{d}{d a} [a y] + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ es $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ donde $f (a) = a$ y $g (a) = y$ .

$0 - 3 x (a \frac{d}{d a} [y] + y \frac{d}{d a} [a]) + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d a} [y]$ como $y'$ .

$0 - 3 x (a y' + y \frac{d}{d a} [a]) + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 3 x (a y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d a} [y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ es $f' (g (a)) g' (a)$ donde $f (a) = a^{3}$ y $g (a) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d a} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d a} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d a} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d a} [y]$ como $y'$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + 3 y^{2} y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - 3 x (a y') - 3 x y + 3 y^{2} y'$

Paso 2.4.2

Resta $- (- 3 x a y' - 3 x y)$ de $0$ .

$- 3 x a y' - 3 x y + 3 y^{2} y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- 3 a x y' - 3 x y + 3 y^{2} y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $0$ con respecto a $a$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 a x y' - 3 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $3 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 a x y' + 3 y^{2} y' = 3 x y$

Paso 5.2

Factoriza $3 y'$ de $- 3 a x y' + 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 y'$ de $- 3 a x y'$ .

$3 y' (- a x) + 3 y^{2} y' = 3 x y$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' (- a x) + 3 y' y^{2} = 3 x y$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' (- a x) + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (- a x + y^{2}) = 3 x y$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 y' (- a x + y^{2}) = 3 x y$ por $3 (- a x + y^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 y' (- a x + y^{2}) = 3 x y$ por $3 (- a x + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (- a x + y^{2})}{3 (- a x + y^{2})} = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (- a x + y^{2})}{3 (- a x + y^{2})} = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- a x + y^{2})}{- a x + y^{2}} = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- a x + y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- a x + y^{2})}{- a x + y^{2}} = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x y}{- a x + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- a x$ .

$y' = \frac{x y}{- (a x) + y^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{x y}{- (a x) - 1 (- y^{2})}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (a x) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{x y}{- (a x - y^{2})}$

Paso 5.3.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (a x - y^{2})$ como $- 1 (a x - y^{2})$ .

$y' = \frac{x y}{- 1 (a x - y^{2})}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x y}{a x - y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d a}$ .

$\frac{d y}{d a} = - \frac{x y}{a x - y^{2}}$