Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Paso 1

Escribe $y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ como una función.

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.9

Combina $3$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.12

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.13

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.13.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.14

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.15

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.16

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

Paso 3.3.2

Suma $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.9

Combina $3$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.12

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 6.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Divide cada término en $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 6.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{2}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

Paso 6.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 6.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 6.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 6.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 6.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 1^{3}$

Paso 6.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = 1^{3}$

Paso 6.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = 1$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 2$

Paso 7.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}} - 2$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{3}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1, 0$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{3 {(1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Paso 10.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Paso 11

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 3 {(1)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 1$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

Paso 12.2.2

Resta $2$ de $3$ .

$f (1) = 1$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 14.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{4}}$

Paso 14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 14.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Paso 14.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Paso 14.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{2}{0}$

Paso 14.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 15

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 15.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 15.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 15.2.2

La respuesta final es $\frac{2}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - 2$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 15.3

Sustituye cualquier número, como $0.5$ , del intervalo $(0, 1)$ en la primera derivada $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5$ en la expresión.

$f' (0.5) = \frac{2}{{(0.5)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 15.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.3.2.1.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.5) = \frac{2}{0.79370052} - 2$

Paso 15.3.2.1.2

Divide $2$ por $0.79370052$ .

$f' (0.5) = 2.51984209 - 2$

Paso 15.3.2.2

Resta $2$ de $2.51984209$ .

$f' (0.5) = 0.51984209$

Paso 15.3.2.3

La respuesta final es $0.51984209$ .

$0.51984209$

Paso 15.4

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(1, \infty)$ en la primera derivada $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 15.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (4) = \frac{2}{4^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 15.4.2.2

La respuesta final es $\frac{2}{4^{\frac{1}{3}}} - 2$ .

$\frac{2}{4^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 15.5

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 15.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 1$ , $x = 1$ es un máximo local.

$x = 1$ es un máximo local

Paso 15.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

$x = 0$ es un mínimo local

$x = 1$ es un máximo local

$x = 0$ es un mínimo local

$x = 1$ es un máximo local

Paso 16