Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (e^{x^{4}})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (e^{x^{4}}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = e^{x^{4}}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{x^{4}}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{x^{4}})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x^{4}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x^{4} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Paso 3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.4.1

Combina $e^{x^{4}}$ y $\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} (4 x^{3})$

Paso 3.4.3

Combina fracciones.

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Paso 3.4.3.1

Combina $4$ y $\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} x^{3}$

Paso 3.4.3.2

Combina $\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reordena los factores en $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Paso 3.5.3

Reordena los factores en $\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$