Cálculo Ejemplos

$u = \sqrt[7]{t} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Paso 1

Reescribe el lado derecho con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{t}$ como $t^{\frac{1}{7}}$ .

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t^{7}}$ como $t^{\frac{7}{2}}$ .

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (u) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}})$

Paso 3

La derivada de $u$ con respecto a $t$ es $u'$ .

$u'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}]$ .

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Paso 4.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4.2.5.2

Resta $7$ de $1$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6 t^{\frac{7}{2}}$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1})$

Paso 4.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 2}{2}})$

Paso 4.3.6.2

Resta $2$ de $7$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{5}{2}})$

Paso 4.3.7

Combina $\frac{7}{2}$ y $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Paso 4.3.8

Combina $6$ y $\frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{6 (7 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Paso 4.3.9

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{42 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Paso 4.3.10

Factoriza $2$ de $42 t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Paso 4.3.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Paso 4.3.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{21 t^{\frac{5}{2}}}{1}$

Paso 4.3.11.4

Divide $21 t^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Paso 4.4.3

Reordena los términos.

$21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$u' = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Paso 6

Reemplaza $u'$ con $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d u}{d t} = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$