Cálculo Ejemplos

$w = \frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d w} (w) = \frac{d}{d w} (\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.1.2

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $\frac{2}{3}$ con respecto a $w$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $- \frac{y^{2}}{5}$ con respecto a $w$ es $- \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ es $f' (g (w)) g' (w)$ donde $f (w) = w^{2}$ y $g (w) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d w} [y]$ como $y'$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 (\frac{1}{5}) (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{5}$ .

$0 + \frac{- 2}{5} (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.6

Combina $y$ y $\frac{- 2}{5}$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2}{5} y' + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.7

Combina $\frac{y \cdot - 2}{5}$ y $y'$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2 y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.8

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$0 + \frac{- 2 \cdot y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $\frac{4 y^{2}}{3}$ con respecto a $w$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ es $f' (g (w)) g' (w)$ donde $f (w) = w^{2}$ y $g (w) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d w} [y])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 u_{2} \frac{d}{d w} [y])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y \frac{d}{d w} [y])$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d w} [y]$ como $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y y')$

Paso 3.3.4

Combina $2$ y $\frac{4}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{2 \cdot 4}{3} (y y')$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8}{3} (y y')$

Paso 3.3.6

Combina $y$ y $\frac{8}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8}{3} y'$

Paso 3.3.7

Combina $\frac{y \cdot 8}{3}$ y $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8 y'}{3}$

Paso 3.3.8

Mueve $8$ a la izquierda de $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Resta $\frac{2 y y'}{5}$ de $0$ .

$- \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Paso 3.4.2

Para escribir $- \frac{2 y y'}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3}$

Paso 3.4.3

Para escribir $\frac{8 y y'}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.4.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $\frac{2 y y'}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.4.4.3

Multiplica $\frac{8 y y'}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Paso 3.4.4.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{15}$

Paso 3.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 y y' \cdot 3 + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Paso 3.4.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 6 y y' + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Paso 3.4.7

Multiplica $5$ por $8$ .

$\frac{- 6 y y' + 40 y y'}{15}$

Paso 3.4.8

Suma $- 6 y y'$ y $40 y y'$ .

$\frac{34 y y'}{15}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{34 y y'}{15}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{34 y y'}{15} = 1$ .

$\frac{34 y y'}{15} = 1$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{15}{34}$ .

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Simplifica $\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 5.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{34} (34 y y') = \frac{15}{34} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.2

Cancela el factor común de $34$ .

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Paso 5.3.1.1.2.1

Factoriza $34$ de $34 y y'$ .

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Paso 5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y y' = \frac{15}{34} \cdot 1$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $\frac{15}{34}$ por $1$ .

$y y' = \frac{15}{34}$

Paso 5.4

Divide cada término en $y y' = \frac{15}{34}$ por $y$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y y' = \frac{15}{34}$ por $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{15}{34} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 5.4.3.2

Multiplica $\frac{15}{34}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y' = \frac{15}{34 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d w}$ .

$\frac{d y}{d w} = \frac{15}{34 y}$