Cálculo Ejemplos

$x^{3} + t^{3} x + t^{2} - 7 = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (x^{3} + t^{3} x + t^{2} - 7) = \frac{d}{d t} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + t^{3} x + t^{2} - 7$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [x^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = x$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d t} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [t^{3} x]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = x$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d t} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + x \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + x (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.4.2

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $t$ es $0$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t$ y $0$ .

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 t^{2} x + 2 t$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $0$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 t^{2} x + 2 t = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 t^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 2 t = - 3 t^{2} x$

Paso 5.1.2

Resta $2 t$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} x' + t^{3} x' = - 3 t^{2} x - 2 t$

Paso 5.2

Factoriza $x'$ de $3 x^{2} x' + t^{3} x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x'$ de $3 x^{2} x'$ .

$x' (3 x^{2}) + t^{3} x' = - 3 t^{2} x - 2 t$

Paso 5.2.2

Factoriza $x'$ de $t^{3} x'$ .

$x' (3 x^{2}) + x' (t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$

Paso 5.2.3

Factoriza $x'$ de $x' (3 x^{2}) + x' (t^{3})$ .

$x' (3 x^{2} + t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$

Paso 5.3

Divide cada término en $x' (3 x^{2} + t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$ por $3 x^{2} + t^{3}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x' (3 x^{2} + t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$ por $3 x^{2} + t^{3}$ .

$\frac{x' (3 x^{2} + t^{3})}{3 x^{2} + t^{3}} = \frac{- 3 t^{2} x}{3 x^{2} + t^{3}} + \frac{- 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3 x^{2} + t^{3}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (3 x^{2} + t^{3})}{3 x^{2} + t^{3}} = \frac{- 3 t^{2} x}{3 x^{2} + t^{3}} + \frac{- 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 t^{2} x}{3 x^{2} + t^{3}} + \frac{- 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- 3 t^{2} x - 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $t$ de $- 3 t^{2} x - 2 t$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $t$ de $- 3 t^{2} x$ .

$x' = \frac{t (- 3 t x) - 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $t$ de $- 2 t$ .

$x' = \frac{t (- 3 t x) + t \cdot - 2}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $t$ de $t (- 3 t x) + t \cdot - 2$ .

$x' = \frac{t (- 3 t x - 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 t x$ .

$x' = \frac{t (- (3 t x) - 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x' = \frac{t (- (3 t x) - 1 (2))}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 t x) - 1 (2)$ .

$x' = \frac{t (- (3 t x + 2))}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.6.1

Reescribe $- (3 t x + 2)$ como $- 1 (3 t x + 2)$ .

$x' = \frac{t (- 1 (3 t x + 2))}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 5.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{t (3 t x + 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t (3 t x + 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$