Cálculo Ejemplos

$8 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$

Paso 1

Reescribe el lado izquierdo con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 4$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 4$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.9

Combina $8$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.11

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.12.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Paso 3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Paso 3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Paso 3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Paso 3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Paso 3.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Paso 3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Paso 3.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Paso 3.3.9

Combina $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $y'$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Paso 3.3.10

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Resta $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y' = - 2 \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{- 2 \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$y' = \frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.1.4

Combina $\frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$