Cálculo Ejemplos

$x y - x + y = 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y - x + y) = \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x y' + y - 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y - 1 + y'$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + y - 1 + y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' - 1 + y' = - y$

Paso 5.1.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x y' + y' = - y + 1$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x y' + y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + y' = - y + 1$

Paso 5.2.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' x + y' = - y + 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = - y + 1$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = - y + 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x + 1) = - y + 1$ por $x + 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x + 1) = - y + 1$ por $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y + 1}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (y) + 1}{x + 1}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 1)}{x + 1}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (y - 1)}{x + 1}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (y - 1)}{x + 1}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y - 1}{x + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 1}{x + 1}$