Cálculo Ejemplos

$x \cos (y) = y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Paso 3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = y'$

Paso 5.2

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (y) + \cos (y) - y' = 0$

Paso 5.3

Resta $\cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (y) - y' = - \cos (y)$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $- x y' \sin (y) - y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $- x y' \sin (y)$ .

$y' (- x \sin (y)) - y' = - \cos (y)$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot - 1 = - \cos (y)$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x \sin (y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- x \sin (y) - 1) = - \cos (y)$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (- x \sin (y) - 1) = - \cos (y)$ por $- x \sin (y) - 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (- x \sin (y) - 1) = - \cos (y)$ por $- x \sin (y) - 1$ .

$\frac{y' (- x \sin (y) - 1)}{- x \sin (y) - 1} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) - 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $- x \sin (y) - 1$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x \sin (y) - 1)}{- x \sin (y) - 1} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) - 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) - 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\cos (y)}{- x \sin (y) - 1}$

Paso 5.5.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x \sin (y)$ .

$y' = - \frac{\cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1}$

Paso 5.5.3.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{\cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1 (1)}$

Paso 5.5.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x \sin (y)) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{\cos (y)}{- (x \sin (y) + 1)}$

Paso 5.5.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.3.5.1

Reescribe $- (x \sin (y) + 1)$ como $- 1 (x \sin (y) + 1)$ .

$y' = - \frac{\cos (y)}{- 1 (x \sin (y) + 1)}$

Paso 5.5.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - - \frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$

Paso 5.5.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$

Paso 5.5.3.5.4

Multiplica $\frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$