Cálculo Ejemplos

$x \sin (y) + y \sin (x) = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x \sin (y) + y \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Paso 2.2.5

Multiplica $\sin (y)$ por $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$ .

$x y' \cos (y) + y \cos (x) + y' \sin (x) + \sin (y) = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $y \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) + \sin (y) = - y \cos (x)$

Paso 5.2.2

Resta $\sin (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $x y' \cos (y) + y' \sin (x)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $x y' \cos (y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $y' \sin (x)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x))$ .

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ por $x \cos (y) + \sin (x)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ por $x \cos (y) + \sin (x)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x \cos (y) + \sin (x)$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- \sin (y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (y \cos (x)) - (\sin (y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.2.5.1

Reescribe $- (y \cos (x) + \sin (y))$ como $- 1 (y \cos (x) + \sin (y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$