Cálculo Ejemplos

$x + 2 y = \sqrt{y}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 2 y = y^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x + 2 y) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + 2 y'$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$2 y' + 1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.8

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.9

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y' + 1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica $(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.2.2

Multiplica $2 y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = y'$

Paso 6.3

Resuelve $y'$

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Paso 6.3.1

Resta $2 y^{\frac{1}{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2

Factoriza $y'$ de $4 y' y^{\frac{1}{2}} - y'$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $y'$ de $4 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ por $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ por $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Paso 6.3.3.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$