Cálculo Ejemplos

$\ln (x y) = e^{x + y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2

Combina los términos.

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Paso 2.6.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2.2

Combina $\frac{x}{x y}$ y $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Paso 2.6.2.4

Combina $\frac{1}{x y}$ y $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Paso 2.6.2.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.6.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Paso 2.6.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica $e^{x + y} (1 + y')$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x + y} (1 + y')$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y'$

Paso 5.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + e^{x + y} y'$

Paso 5.1.4.2

Reordena los factores en $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + y' e^{x + y}$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $y' e^{x + y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' e^{x + y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.2

Para escribir $- y' e^{x + y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} - y' e^{x + y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Paso 5.2.3

Combina $- y' e^{x + y}$ y $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{- y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y' - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Paso 5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' - y' e^{x + y} y$ .

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Paso 5.2.5.1

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{y'}^{1} - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Paso 5.2.5.2

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Paso 5.2.5.3

Factoriza $y'$ de $- y' e^{x + y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Paso 5.2.5.4

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Paso 5.2.6

Para escribir $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Paso 5.2.7

Para escribir $\frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $y x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.8.1

Multiplica $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.8.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.8.3

Reordena los factores de $y x$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.10.2

Multiplica $y'$ por $1$ .

$\frac{(y' + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.10.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(y' - y' e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y} = e^{x + y}$

Paso 5.2.11

Reordena los factores en $\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} = e^{x + y}$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por $x y$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Simplifica $\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y)$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Cancela el factor común de $x y$ .

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Paso 5.4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Paso 5.4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' x - y' y x e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Paso 5.4.1.1.2

Reordena.

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Paso 5.4.1.1.2.1

Mueve $y$ .

$y' x - y' x y e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Paso 5.4.1.1.2.2

Mueve $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = e^{x + y} (x y)$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Reordena los factores en $e^{x + y} (x y)$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y}$

Paso 5.5

Resuelve $y'$

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Paso 5.5.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y' x - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Paso 5.5.2

Factoriza $y' x$ de $y' x - y' x y e^{x + y}$ .

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Paso 5.5.2.1

Factoriza $y' x$ de $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Paso 5.5.2.2

Factoriza $y' x$ de $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Paso 5.5.2.3

Factoriza $y' x$ de $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y})$ .

$y' x (1 - 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Paso 5.5.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Paso 5.5.4

Divide cada término en $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ por $x (1 - y e^{x + y})$ y simplifica.

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Paso 5.5.4.1

Divide cada término en $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ por $x (1 - y e^{x + y})$ .

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Paso 5.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Paso 5.5.4.2.2

Cancela el factor común de $1 - y e^{x + y}$ .

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Paso 5.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Paso 5.5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Paso 5.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{x y e^{x + y} - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Paso 5.5.4.3.2

Factoriza $y$ de $x y e^{x + y} - y$ .

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Paso 5.5.4.3.2.1

Factoriza $y$ de $x y e^{x + y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Paso 5.5.4.3.2.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1}{x (1 - y e^{x + y})}$

Paso 5.5.4.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$