Cálculo Ejemplos

$\sin (x) - \cos (y) - 2 = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (x) - \cos (y) - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) - \cos (y) - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (y)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (y)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\cos (x) - (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x) - (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) + 1 (\sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.5

Multiplica $\sin (y)$ por $1$ .

$\cos (x) + \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\cos (x) + \sin (y) y' + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $\cos (x) + \sin (y) y'$ y $0$ .

$\cos (x) + \sin (y) y'$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\sin (y) y' + \cos (x)$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\sin (y) y' + \cos (x) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $\sin (y) y' + \cos (x)$ .

$y' \sin (y) + \cos (x) = 0$

Paso 5.2

Resta $\cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \sin (y) = - \cos (x)$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' \sin (y) = - \cos (x)$ por $\sin (y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' \sin (y) = - \cos (x)$ por $\sin (y)$ .

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $\sin (y)$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Separa las fracciones.

$y' = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como un producto.

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.3.3.3

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.3.3.4

Simplifica.

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Paso 5.3.3.4.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.3.3.4.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \csc (y))$

Paso 5.3.3.5

Divide $- 1$ por $1$ .

$y' = - \cos (x) \csc (y)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \cos (x) \csc (y)$