Cálculo Ejemplos

$\sin (x y) = 2 x + 5$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 5)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) = 2$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = 2$

Paso 5.2

Resta $y \cos (x y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$ por $x \cos (x y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$ por $x \cos (x y)$ .

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x y)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Separa las fracciones.

$y' = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x y)}$ a $\sec (x y)$ .

$y' = \frac{2}{x} \sec (x y) + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Combina $\frac{2}{x}$ y $\sec (x y)$ .

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.4

Cancela el factor común de $\cos (x y)$ .

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Paso 5.3.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Paso 5.3.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.3.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$