Cálculo Ejemplos

$y^{5} + x^{2} y^{3} = 1 + x^{4} y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{5} + x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{4} y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{5} + x^{2} y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x)$

Paso 2.3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$5 y^{4} y' + 3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{4} y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

Paso 3.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

$0 + x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 + x^{4} y' + y (4 x^{3})$

Paso 3.2.4

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$0 + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Suma $0$ y $x^{4} y' + 4 y x^{3}$ .

$x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Paso 3.3.2

Reordena los términos.

$x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $x^{4} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - x^{4} y' = 4 x^{3} y$

Paso 5.2

Resta $2 y^{3} x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $5 y^{4} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $- x^{4} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Paso 5.3.4

Factoriza $y'$ de $y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2})$ .

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Paso 5.3.5

Factoriza $y'$ de $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4})$ .

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ por $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ por $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ .

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{4 x^{3} y - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $2 x y$ de $4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ .

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Paso 5.4.3.2.1

Factoriza $2 x y$ de $4 x^{3} y$ .

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Paso 5.4.3.2.2

Factoriza $2 x y$ de $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Paso 5.4.3.2.3

Factoriza $2 x y$ de $2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$