Cálculo Ejemplos

$y = (x) \tan (y)$

Paso 1

Multiplica $x$ por $\tan (y)$ .

$y = x \tan (y)$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \tan (y))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \cdot 1$

Paso 4.5

Multiplica $\tan (y)$ por $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1

Reordena los factores en $x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$ .

$y' = x y' \sec^{2} (y) + \tan (y)$

Paso 6.2

Resta $x y' \sec^{2} (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Paso 6.3

Factoriza $y'$ de $y' - x y' \sec^{2} (y)$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Paso 6.3.2

Factoriza $y'$ de $- x y' \sec^{2} (y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Paso 6.3.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y))$ .

$y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Paso 6.4

Divide cada término en $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ por $1 - x \sec^{2} (y)$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ por $1 - x \sec^{2} (y)$ .

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x \sec^{2} (y)$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$