Cálculo Ejemplos

$y^{2} = (x - y) (x^{2} + y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} ((x - y) (x^{2} + y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

$2 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - y$ y $g (x) = x^{2} + y$ .

$(x - y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y] + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.7

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - y')$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - y) (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Paso 3.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Paso 3.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Paso 3.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Paso 3.8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Paso 3.8.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Paso 3.8.7

Combina los términos.

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Paso 3.8.7.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Paso 3.8.7.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Paso 3.8.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{1 + 1} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Paso 3.8.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{2} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Paso 3.8.7.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Paso 3.8.7.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Paso 3.8.7.7

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Paso 3.8.7.8

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Paso 3.8.7.9

Suma $- y y'$ y $y (- y')$ .

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Paso 3.8.7.9.1

Reordena $y$ y $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' - 1 \cdot y y' + y + x^{2} (- y')$

Paso 3.8.7.9.2

Resta $y y'$ de $- y y'$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

Paso 3.8.8

Reordena los términos.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' = 3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y = 2 y y'$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $2 y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y - 2 y y' = 0$

Paso 5.2.2

Resta $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2} + 2 x y$

Paso 5.3.3

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $x y' - 4 y y' - x^{2} y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- 4 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $- x^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (x) + y' (- 4 y)$ .

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Paso 5.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (x - 4 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ por $x - 4 y - x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ por $x - 4 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $x - 4 y - x^{2}$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.5.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 2 x y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.7

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.3.2.8.1

Reescribe $- (3 x^{2} - 2 x y + y)$ como $- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 5.5.3.2.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$