Cálculo Ejemplos

$x^{3} y^{3} + x = 9$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{3} + x) = \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} y^{3} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y^{3}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + 1$

Paso 3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + 1 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 y^{3} x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{3} y^{2} y' + 1 = - 3 y^{3} x^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$ por $3 x^{3} y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$ por $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} y^{2} y'}{3 x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{3} y^{2} y'}{3 x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} y^{2} y'}{x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y^{2} y'}{x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 (x^{3} y^{2})} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 (x^{3} y^{2})} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{3} x^{2}}{x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{2}$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{y^{2} x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{y^{2} x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $- y x^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{2} x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{2} x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$