Cálculo Ejemplos

$x^{7} y + y^{7} x = 4$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{7} y + y^{7} x) = \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{7} y + y^{7} x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{7} y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = y$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{7} y' + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$x^{7} y' + y (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Paso 2.2.4

Mueve $7$ a la izquierda de $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{7}$ y $g (x) = x$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} y')$

Paso 2.3.5

Multiplica $y^{7}$ por $1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + x (7 y^{6} y')$

Paso 2.3.6

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + 7 x y^{6} y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y'$

Paso 3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y^{7}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = - y^{7}$

Paso 5.1.2

Resta $7 x^{6} y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{7} y' + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Paso 5.2

Factoriza $x y'$ de $x^{7} y' + 7 y^{6} x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x y'$ de $x^{7} y'$ .

$x y' x^{6} + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x y'$ de $7 y^{6} x y'$ .

$x y' x^{6} + x y' (7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' x^{6} + x y' (7 y^{6})$ .

$x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ por $x (x^{6} + 7 y^{6})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ por $x (x^{6} + 7 y^{6})$ .

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{6} + 7 y^{6}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- 7 x^{6} y$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

Paso 5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x^{6} + 7 y^{6})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{(x^{6} + 7 y^{6}) x}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(x^{6} + 7 y^{6}) x$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{7} - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $y$ de $- y^{7} - 7 x^{5} y x$ .

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Paso 5.3.3.5.1.1

Factoriza $y$ de $- y^{7}$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.5.1.2

Factoriza $y$ de $- 7 x^{5} y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.5.1.3

Factoriza $y$ de $y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $x^{5}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.5.2.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x \cdot x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.5.2.2

Multiplica $x$ por $x^{5}$ .

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Paso 5.3.3.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x^{1} x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{1 + 5})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.5.2.3

Suma $1$ y $5$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.3.3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- y^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.6.2

Factoriza $- 1$ de $- 7 x^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - (7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (y^{6}) - (7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.6.4.1

Reescribe $- (y^{6} + 7 x^{6})$ como $- 1 (y^{6} + 7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 5.3.3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$