Cálculo Ejemplos

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2}) = \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (π x) + \cos (π y)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (π x) + \cos (π y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Paso 2.4.3

Multiplica $π$ por $1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = π y$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π y])$

Paso 2.5.2

La derivada de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $- \sin (u_{3})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π y])$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y])$

Paso 2.6

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π y$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.7

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Paso 2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y')) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Divide cada término en $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ por $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ por $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Paso 5.1.2.1.2

Divide $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ por $1$ .

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y' = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Paso 5.1.2.2

Reordena los factores en $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Cancela el factor común de $0$ y $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Paso 5.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Paso 5.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sin (π x)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 \cos (π y)}$

Paso 5.1.3.1.2.2

Factoriza $2$ de $2 \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))}$

Paso 5.1.3.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Paso 5.1.3.1.2.4

Cancela el factor común.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 \cdot 0}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Paso 5.1.3.1.2.5

Reescribe la expresión.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{\sin (π x) + \cos (π y)}$

Paso 5.1.3.2

Divide $0$ por $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = 0$

Paso 5.2

Resta $π \cos (π x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$

Paso 5.3

Divide cada término en $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ por $- π \sin (π y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ por $- π \sin (π y)$ .

$\frac{- π y' \sin (π y)}{- π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $\sin (π y)$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $\frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$ como un producto.

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Paso 5.3.3.4

Escribe $\cos (π x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (π x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (π y)}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica.

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Paso 5.3.3.5.1

Divide $\cos (π x)$ por $1$ .

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Paso 5.3.3.5.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (π y)}$ a $\csc (π y)$ .

$y' = \cos (π x) \csc (π y)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (π x) \csc (π y)$