Cálculo Ejemplos

$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 2 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{x} - \frac{3}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{y}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.7

Resta $y'$ de $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 x^{- 2} - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Paso 2.3.9

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 3 x^{- 2} + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.10

Combina $3$ y $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 2$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $\frac{3}{x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 y'}{y^{2}} = 2 + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 y' = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $(2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3}{x^{2}} y^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Combina $\frac{3}{x^{2}}$ y $y^{2}$ .

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.4

Divide cada término en $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ por $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.4.3.1.2

Combinar.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Paso 5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Paso 5.4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 5.4.3.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$