Cálculo Ejemplos

$e^{x^{2} + y} = 5 x + 4 y + 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y}) = \frac{d}{d x} (5 x + 4 y + 2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2} + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 4 y + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 + 4 y' + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 + 4 y' + 0$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Suma $5 + 4 y'$ y $0$ .

$5 + 4 y'$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$4 y' + 5$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Paso 5.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Paso 5.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ .

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} = 4 y' + 5$

Paso 5.2

Resta $4 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5$

Paso 5.3

Resta $2 x e^{x^{2} + y}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $y' e^{x^{2} + y} - 4 y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $y' e^{x^{2} + y}$ .

$y' (e^{x^{2} + y}) - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- 4 y'$ .

$y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4 = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ por $e^{x^{2} + y} - 4$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ por $e^{x^{2} + y} - 4$ .

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2} + y} - 4$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$