Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (3 y) = x + y - 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin^{2} (3 y)) = \frac{d}{d x} (x + y - 1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (3 y)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (3 y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \sin (3 y) \cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$

Paso 2.5

Reordena los factores de $6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$ .

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + y' + 0$

Paso 3.5

Suma $1 + y'$ y $0$ .

$1 + y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y' = 1 + y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$ .

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) = 1 + y'$

Paso 5.2

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y' = 1$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y)$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) - y' = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1 = 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ por $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ por $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$