Cálculo Ejemplos

$e^{x} y = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{x} y) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} y' + y e^{x}$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{x} y' + y e^{x} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $e^{x} y' + y e^{x}$ .

$y' e^{x} + y e^{x} = 0$

Paso 5.2

Resta $y e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' e^{x} = - y e^{x}$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' e^{x} = - y e^{x}$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' e^{x} = - y e^{x}$ por $e^{x}$ .

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Paso 5.3.3.1.2

Divide $- y$ por $1$ .

$y' = - y$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y$